ⓘ Conjecture de Gilbreath

                                     

ⓘ Conjecture de Gilbreath

En théorie des nombres, la conjecture de Gilbreath est une conjecture non résolue attribuée à Norman L. Gilbreath en 1958, bien que déjà énoncée en 1878 par François Proth, qui croyait lavoir démontrée.

                                     

1. Définition du problème

On écrit sur une première ligne la suite des nombres premiers, soit:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

et on écrit sur chaque ligne suivante la valeur absolue de la différence entre deux valeurs consécutives de la ligne précédente, ce qui équivaut, en notant a n les valeurs de la suite dune certaine ligne et b n celles de la ligne suivante, à:

b n = | a n – a n +1 |.

On obtient ainsi une succession de lignes:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, … 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, … 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, … 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, … 1, 2, 0, 0, 0, 2, … 1, 2, 0, 0, 2, …

La conjecture de Gilbreath sénonce ainsi:

La première valeur de chaque ligne est 1 sauf dans la première ligne.

Elle a été vérifiée pour tous les nombres premiers inférieurs à 10 13, cest-à-dire jusquà la 3.4.10 11 -ième ligne.